Intervalo de confianza: fórmula y ejemplo

Un intervalo de confianza ofrece un rango de valores plausibles para un parámetro desconocido, como la media de una población. Comunica la incertidumbre de una estimación mejor que presentar solo un promedio.

Un intervalo del 95 % no significa que exista 95 % de probabilidad de que el parámetro fijo esté dentro del rango ya calculado. En la interpretación frecuentista, si repitiéramos el muestreo y el procedimiento muchas veces, aproximadamente 95 % de esos intervalos cubriría el parámetro.

Fórmula para una media

Con desviación poblacional conocida:

IC = x̄ ± z* · σ / √n

Donde:

• x̄ es la media muestral;
• z* es el valor crítico;
• σ es la desviación poblacional;
• n es el tamaño de muestra.

En la práctica, σ suele ser desconocida y se usa la distribución t:

IC = x̄ ± t* · s / √n

La desviación estándar s estima la dispersión y n - 1 determina los grados de libertad.

Ejemplo paso a paso

Una muestra de 25 tiempos de entrega tiene media de 48 horas y desviación estándar de 10. Para un intervalo aproximado del 95 % con 24 grados de libertad, t* ≈ 2.064.

Error estándar:

SE = 10 / √25 = 2

Margen:

ME = 2.064 × 2 = 4.128

Intervalo:

48 ± 4.128 = [43.872, 52.128]

Podemos reportar: media estimada de 48 horas, IC 95 % [43.9, 52.1], n = 25. Esto no garantiza que 95 % de entregas individuales esté en ese rango; el intervalo se refiere a la media poblacional.

Qué determina la amplitud

• Mayor confianza produce un intervalo más ancho.
• Mayor variabilidad lo ensancha.
• Mayor muestra lo estrecha aproximadamente con 1/√n.
• Un diseño deficiente no se arregla aumentando n.

Cuadruplicar la muestra reduce a la mitad el error estándar, si el resto se mantiene.

Intervalo y margen de error

El margen de error es la distancia desde la estimación hasta cada límite en un intervalo simétrico. Debe acompañarse del nivel de confianza y supuestos.

Una encuesta que dice “±3 puntos” sin explicar muestra, diseño, ponderación y no respuesta ofrece una precisión incompleta.

Media, proporción y otros parámetros

La fórmula depende del parámetro y diseño. Para proporciones pequeñas o muestras reducidas, el intervalo normal simple puede comportarse mal; se prefieren métodos como Wilson según el caso.

También existen intervalos para diferencias de medias, razones, coeficientes y predicciones. No reutilices la fórmula de la media para todo.

Supuestos

Revisa:

• muestra aleatoria o diseño justificable;
• independencia o estructura modelada;
• distribución apropiada o tamaño suficiente;
• ausencia de sesgo sistemático;
• tratamiento de ponderaciones y estratos;
• definición estable de la variable.

El artículo de tipos de muestreo ayuda a evaluar representatividad.

Intervalo de confianza vs intervalo de predicción

El intervalo de confianza estima un parámetro promedio. El de predicción intenta cubrir una observación futura y suele ser más ancho porque incorpora variabilidad individual.

No uses el intervalo de la media para prometer el tiempo de una entrega concreta.

Relación con pruebas de hipótesis

En una prueba bilateral al 5 %, un valor hipotético fuera del IC 95 % correspondiente suele conducir al rechazo bajo los mismos supuestos. La prueba de hipótesis añade formulación de H0, estadístico, p-valor y decisión.

Python

import numpy as np
from scipy import stats

datos = np.array([...], dtype=float)
n = datos.size
media = datos.mean()
se = stats.sem(datos)
critico = stats.t.ppf(0.975, df=n - 1)
limites = (media - critico * se, media + critico * se)

Comprueba nulos, independencia y unidades antes de interpretar.

Errores frecuentes

• Decir que 95 % de datos están dentro.
• Interpretar confianza como probabilidad posterior del parámetro.
• Ignorar el diseño muestral.
• Elegir 95 % después de mirar el resultado.
• Reportar demasiados decimales.
• Confundir significancia con importancia.
• Omitir tamaño de muestra.
• Usar un intervalo estrecho sobre datos sesgados.

Un intervalo profesional presenta estimación, límites, confianza, n, método y contexto de recolección.

Preguntas frecuentes

¿Qué significa un intervalo de confianza del 95 %?
Que el procedimiento cubriría el parámetro en aproximadamente 95 % de muestras repetidas bajo sus supuestos.

¿Contiene al 95 % de los datos?
No. Estima un parámetro, como la media. Un intervalo de predicción aborda observaciones individuales.

¿Qué hace más estrecho el intervalo?
Mayor muestra y menor variabilidad. Reducir el nivel de confianza también lo estrecha, con menor cobertura.

¿Cuándo se usa t en vez de z?
Habitualmente cuando la desviación poblacional es desconocida y se estima con la muestra.

¿Qué es el margen de error?
Es la distancia entre la estimación puntual y un límite del intervalo, bajo el método utilizado.

¿Un intervalo estrecho garantiza exactitud?
No. Puede ser preciso pero sesgado si el muestreo o la medición excluyen sistemáticamente parte de la población.